Поскольку бесплатной WinHTTP я не нашел, а проект мой не коммерческий, то пришлось дальше заниматься секасом с Indy.
Итак, может у кого вдруг еще будет подобная ошибка, то вот ее решение.
В дополнение к
IdHTTP на форму нужно положить
TIdSSLIOHandlerSocket. В
IdHTTP в свойствах
IOHandler выбрать
TIdSSLIOHandlerSocket1.
Скачать библиотеки
libeay32.dll и
ssleay32.dll, положить их в папку с проектом (exe-файлом).
В Properties
TIdSSLIOHandlerSocket в поле SSLOptions - > Method выбрать
sslvTLSv1.
И все - все заработало!
Также прикрепляю готовый пример проекта.