Код:
ADOQuery1.SQL.Text := 'select * from YourTable where [ФИО] like ''%'+edit1.text+'%''';
Но в данном случае лучше обрабатывть OnFilterRecord компонента, который получает данные для отображени в гриде. Но опть же, это будет фильтрация.
А чистый поиск делается, обычно, через Locate.